Transformação de tensão


Sabe-se que o estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes de tensões normal e de cisalhamento, que atuam nas faces de um elemento do material localizado em tal ponto, conforme figura abaixo:

Estado de tensão em um ponto (a)

O estado de tensão da figura acima não é encontrado com freqüência na prática da engenharia. Para que a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um plano simples, ocorre simplificações das cargas sobre o corpo. Com isso aplica-se o plano de tensões, conforme indicado na figuira b abaixo.

Estado de tensão em um ponto (b e c)

As fórmulas apresentadas serão baseadas no plano x-y, sendo o estado Geral Plano de tensões em um ponto composto de dois componentes de tensão normal, σx , σy e um componente de tensão de cisalhamento, τxy , que atuam sobre as quatro faces do elemento. conforme a figura c acima.

Pode-se afirmar que se um estado de tensão em um ponto for conhecido, conforme uma orientação determinada de um elemento do material, então se determina o estado de tensão para uma orientação diferente através das seguintes equações:






Em que, para σ y, adota-se θ= θ+90 :

Já a equação da tensão de cisalhamento fica da seguinte forma:





σx e τxy dependem do ângulo de inclinação de θ dos planos em que essas tensões atuam. Por isso deve-se determinar o ângulo da orientação para qual as tensões principais e de cisalhamento no plano sejam máximas e mínimas. Isso resulta na seguinte equação:





Fazendo as devidas substituições nas equações anteriores chega-se na equação abaixo:





conforme o sinal escolhido para na resolução da raiz quadrada se obtém a tensão principal normal máxima ou mínima que agem nos chamados planos principais onde nenhuma tensão de cisalhamento age, ou seja, nesses planos τxy = 0. Para a determinação da tensão de cisalhamento máxima no plano utiliza-se a seguinte equação:





A tensão de cisalhamento máxima no plano é determinada pela seguinte equação:





E a tensão normal média é dada pela seguinte equação





Referências bibliográficas:
1 - Hibbeler, R. C. Resistência dos Materiais, 7.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.