Teoria das filas - Sistema MM1

O estudo da teoria das filas está dentro da disciplina de probabilidade onde se estuda a formação de fila. Para isso, esta ferramenta matemática trata de eventos aleatórios e permite retratar previamente o comportamento de um sistema de filas matematicamente.

Sempre que a procura por um determinado serviço é maior que a capacidade do sistema de prover este serviço ocorre uma fila. Um sistema de fila é definido, de certa forma, como um processo de chegada de clientes a um sistema de atendimento para receber um ou mais serviços e executados por uma certa quantidade de servidores. O termo “cliente” (“transação” ou “entidade”) é usado de uma forma genérica e pode designar tanto uma pessoa, um navio ou um lingote.

Os tipos de modelos de filas são definidos a partir da Notação de Kendall, que consiste:

Onde:

Clientes e Tamanho da População - Pode se considerar que um cliente é proveniente de uma população. Isso permite estimar que quando uma população é muito grande a chegada de um novo cliente a uma fila não afeta a taxa de chegada de clientes posteriores e conclui-se, portanto, que as chegadas são independentes (infinita). Já quando a população é pequena, o efeito existe e pode ser considerável.

Modelo de Chegada – O processo de chegada pode ser quantificado informando a taxa média de chegada ou o intervalo médio entre chegadas. O ritmo de chegada é uma importante variável randômica. Para quantificar esta variável se usa a letra grega λ para significar ritmo médio de chegada e se usa IC para intervalo médio entre chegadas.

Número de Servidores – Um sistema de filas pode ser considerado como o mais simpler quando um único servidor pode atender um único cliente de cada vez. Desta forma Conforme ocorre o aumente o ritmo de chegada, pode-se manter a qualidade do serviço aumentando convenientemente o número de servidores. Este é uma das características de uma fila que podemos utilizar para modelar um sistema de filas.

Disciplina da Fila – É uma regra que define qual o próximo a ser atendido e o mais comum é que o primeiro da fila é seja o primeiro a ser atendido o chamdo FIFO – First In First Out (primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido). Outras disciplinas podem existir, tais como o LIFO – Last in First Out (último a chegar primeiro a ser atendido), serviço por ordem de prioridade, serviço randômico, entre outros.

Capacidade do Sistema - Consiste no número máximo de clientes que podem permanecer no sistema (clientes em serviço ou à espera de atendimento com capacidade infinita ou finita). Assim, o cliente só entra quando o outro sai, quando o sistema está cheio. A capacidade é definida por restrições econômicas, espaço ou tempo de espera.

No processo de atendimento, a letra grega μ é usada para determinar ritmo médio de atendimento e se usa TA para tempo ou duração média do serviço ou atendimento.

Sistemas M/M/1

O modelo M/M/1 é aquele em que tanto as chegadas quanto o atendimento são marcovianos (seguem a Distribuição de Poisson ou a Exponencial Negativa) e processo de nascimento e morte onde as taxas de chegada e serviço indep endem do estado do sistema, isto é, λn = λ e μn = μ, para to do n = {1,2,3,...}.

Abaixo está a fórmula da distribuição de poisson:

Onde:

A Distribuição Exponencial Negativa é a correspondente à Distribuição de Poisson quando se refere a intervalos entre chegadas. Se ao analisar um processo de chegada, verificar que o ritmo de chegada segue a Distribuição de Poisson, pode-se afirmar que os intervalos entre chegadas seguirão a Distribuição Exponencial Negativa.

Abaixo está a fórmula da distribuição Exponencial Negativa:

Onde:

As chegadas podem ser consideradas como nascimentos para o sistema somente se o sistema está no estado n e uma chegada acontece e o estado do sistema é atualizado para n + 1. Da mesma forma que quando ocorre uma partida pode ser considerada como uma morte.

Para este sistema são válidas as seguintes definições: